容積 (Lebesgue積分)

$ \forall n\in\N にて、$ \R^n の超矩形(区間)全体の集合を$ \mathcal B^n:=\{B\subseteq\R^n|\exist a_\bullet,b_\bullet\in(\R\cup\{\pm\infty\})^n:B=\prod_{1\le i\le n}[a_i,b_i]\land\forall i\le n:a_i\le b_i\} とし、この高々可算無限部分集合を区間塊と呼ぶ

このとき、$ \operatorname{vol}:\mathcal B^n\ni B\mapsto\prod_{1\le i\le n}(b_i-a_i)\in\R_{\ge0}\cup\{\pm\infty\}を容積と呼ぶ